碰撞过程中的动力学探秘

摘 要：中学力学的研究分为三个观点：动力学观点、能量观点和动量观点。由于碰撞问题的复杂性往往通过后两个观点去分析，这使得问题大大简化。但对学生来说，动力学观点在他们的头脑中根深蒂固，所以他们仍想“追根问底”，以使自己模糊的认识清晰化。本文试图通过课本中例子进行不同观点的求解，建立相应的物理模型，来探寻碰撞过程中的动力学奥秘。加深学生对知识的理解。

关键词：碰撞；弹性碰撞；非弹性碰撞；动力学

碰撞是一种常见的力学现象，也是物理学研究的重要对象。它有两大特点：一是碰撞过程的持续时间极短，通常用千分之一秒或万分之一秒来度量。二是碰撞的物体间产生巨大的碰撞力，而且碰撞力随时间而变化，瞬时值很难测定。中学教材里虽然用一节内容来介绍，但教学实践中发现学生遇到细节或复杂些的问题仍然感觉很模糊，甚至题目能做对，但说不清楚为什么是这样？笔者认为学生们仍然习惯于用动力学思维分析问题。因此，本文试图通过例子进行碰撞过程的动力学探秘。

人民教育出版社高中物理选修3-5第21页问题与练习第2题，原题为：质量为m、速度为v的A球跟质量为3m的静止B球发生正碰。碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后B球的速度可能有不同的值。请你论证：碰撞后B球的速度可能是以下值吗？

（1）0.6v （2）0.4v （3）0.2v

常规解题思路是：对每一小题①先利用系统动量守恒定律解出碰撞后A球的速度，②碰撞后A球的速度应小于或等于B球的速度或A球速度反向，③最后分别计算碰撞前后系统的总动能，碰撞后系统的总动能应小于或等于碰撞前后系统的总动能。

众所周知，动量守恒定律和能量守恒定律解题的优势是只涉及过程始末两个状态，与过程中力的细节无关，往往能使问题大大简化。但是对这种类型的题目，由于不明确是何种类型的碰撞，则碰撞后理论上有无数种可能性，因此碰撞后B球的速度有一个取值范围，下面我们就试图通过牛顿运动定律和运动学公式去建构碰撞的物理模型，探秘其中的受力和运动及其变化，寻求这个取值范围是多少？

由于碰撞过程是一个十分复杂的物理过程，要研究碰撞过程的动力学问题，必须进行适当的简化，略去次要因素，突出事物的本质，以获得较简单的力学模型。

建立模型：实际上A、B两球都不是刚性小球，相互挤压后有形变。现在我们把两球都当成性球来处理，两者的形变用中间的等效轻质弹簧替代，如图所示：

（1）初始状态：速度关系是VA大于VB，A、B两球刚接触，还没来得及产生挤压形变，相当于A、B两球间的等效弹簧处于原长。因此还没有相互作用力。

（2）挤压过程：由于速度VA大于VB，相同时间内A的位移比B的位移大，A、B两球球心间的距离缩短，相当于A、B两球间的等效弹簧被压缩。A、B两球间的相互作用力方向如图所示。对A球：速度VA与受合力FA的方向相反，因此做减速运动。对B球：速度VB与受合力FB的方向相同，因此做加速运动。但由于相互作用力是随弹簧的不断压缩而增大的，两者的加速度a=F/m也是不断增大的。

（3）临界状态：当VA减小到等于VB时（共同速度V共），A、B两球挤压得最厉害，两球心间的距离最短，相当于两球间的等效弹簧压缩到最短。A、B间的相互作用力最大，两者的加速度各自达到最大。系统的初动能转化为两者间的弹性势能，可理解为等效弹簧的弹性势能。

（4）恢复过程：此后，速度VA的方向仍与其合力FA的方向相反，A球继续做减速运动；速度VB的方向仍与其合力FB的方向相同，B球继续做加速运动。因此VA开始小于VB，两球心间的距离开始变大，即A、B两球的挤压开始恢复。相当于两球间的等效弹簧从压缩最短开始恢复。由于A、B两球间的相互作用力不断减小，两者的加速度a=F/m各自不断减小。

（5）恢复到初始状态：最终A、B两球恢复到无挤压的状态。相当于两球间的等效弹簧恢复到原长。此时VA"

1.弹性碰撞：恢复过程完全的碰撞。此类碰撞临界状态系统两者间的弹性势能又充分地变回系统的动能。所以系统的机械能守恒，只不过部分或一部分机械能从A球转移给B球。此碰撞结束B球的速度最大。

2.非弹性碰撞：恢复过程未完全的碰撞。此类碰撞临界状态系统两者间的弹性势能只有部分的变回系统的动能。所以系统的机械能不守恒。

3.完全非弹性碰撞：没进行任何恢复过程的碰撞，即只有前三步进行到临界状态。此时系统的初动能损失最大，碰撞结束B球的速度最小。弹性碰撞和完全非弹性碰撞是两个理想化模型。

沿着这个思路，原题的解法也可以如下：

先假设两球是完全非弹性碰撞，碰撞后有共同速度，则

mVA+0=（m+3m）V共 解得V共=0.25V

再假设两球是弹性碰撞，B球的速度变化量挤压过程和恢复过程应相同，

VB-V共=V共-VB" 解得VB"=0.5V

碰撞后B球的速度有一个取值范围是0.25V≤VB"≤0.5V，所以答案只能选0.4V。

我们分析的过程看起来稍显复杂，但对于我们搞清楚碰撞的受力及运动细节，从不同角度理解碰撞的分类及本质区别是极为有益的。这样，我们既能从宏观上理解动量守恒定律，又能从微观上把握碰撞中受力和运动变化的本质，真正做到“磨刀不误砍柴工”。

（作者单位：安徽省淮南市第21中学）